Luận án Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích kết cấu dầm Sandwich FGM

Nội dung text: Luận án Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích kết cấu dầm Sandwich FGM

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Lê Thị Ngọc Ánh MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM SANDWICH FGM LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT TP Hồ Chí Minh – 2021
2. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ Lê Thị Ngọc Ánh MÔ HÌNH PHẦN TỬ HỮU HẠN TRONG PHÂN TÍCH KẾT CẤU DẦM SANDWICH FGM Chuyên ngành: Cơ kỹ thuật Mã sỗ: 9 52 01 01 LUẬN ÁN TIẾN SỸ NGÀNH KỸ THUẬT CƠ KHÍ VÀ CƠ KỸ THUẬT NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: 1. PGS.TS. Nguyễn Đình Kiên 2. PGS. TS. Trần Văn Lăng TP Hồ Chí Minh – 2021
3. iv 2.5. Lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel 28 2.5.1. Trường chuyển vị 28 2.5.2. Biến dạng và ứng suất . . . . 28 2.5.3. Năng lượng biến dạng đàn hồi 29 2.5.4. Động năng 29 2.6. Lý thuyết tựa 3D 30 2.6.1. Trường chuyển vị 30 2.6.2. Biến dạng và ứng suất . . . . 30 2.6.3. Năng lượng biến dạng đàn hồi 31 2.6.4. Động năng 32 2.7. Ảnh hưởng của nền đàn hồi 32 2.8. Tải trọng di động 33 2.9. Phương trình vi phân chuyển động 33 Chương 3. Mô hình PTHH 36 3.1. Phần tử dầm FBKO 36 3.1.1. Chuyển vị nút và hàm nội suy Kosmatka 36 3.1.2. Ma trận độ cứng 38 3.1.3. Ma trận khối lượng 39 3.2. Phần tử dầm TBSH 39 3.2.1. Chuyển vị nút và nội suy . 40 3.2.2. Ma trận độ cứng 40 3.2.3. Ma trận khối lượng 41 3.3. Phần tử dầm TBSE 42 3.3.1. Hàm nội suy Lagrange và Hermite 42 3.3.2. Phần tử với nội suy làm giàu 44 3.3.2.1. Hàm làm giàu thứ bậc 44 3.3.2.2. Ma trận độ cứng 46 3.3.2.3. Ma trận khối lượng . . 47
4. v 3.4. Phần tử dầm Q3DB 50 3.4.1. Trường nội suy 50 3.4.2. Ma trận độ cứng 50 3.4.3. Ma trận khối lượng 52 3.5. Ma trận độ cứng của nền đàn hồi 53 3.6. Ma trận và véc-tơ tải trọng di động 53 3.6.1. Lực di động 54 3.6.2. Phần tử khối lượng di động 54 3.7. Phương trình chuyển động rời rạc 56 3.8. Phương pháp Newmark 57 Chương 4. Kết quả số và thảo luận 61 4.1. Mở đầu 61 4.2. Dao động tự do 62 4.2.1. Dao động tự do của dầm ba pha 62 4.2.1.1. Kiểm chứng phần tử TBSH 63 4.2.1.2. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu 64 4.2.1.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm 69 4.2.1.4. Ảnh hưởng của nền đàn hồi 71 4.2.1.5. Ảnh hưởng của phần tử 73 4.2.2. Dao động tự do của dầm hai pha 78 4.2.2.1. Kiểm chứng phần tử TBSE 81 4.2.2.2. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu 82 4.2.2.3. Ảnh hưởng của độ mảnh dầm 92 4.3. Dao động cưỡng bức 93 4.3.1. Dầm ba pha chịu lực di động 94 4.3.1.1. Kiểm chứng phần tử FBKO 96 4.3.1.2. Lực di động với vận tốc không đổi 97 4.3.1.3. Lực di động với vận tốc thay đổi 100
5. vi 4.3.2. Dầm hai pha chịu khối lượng di động 102 4.3.2.1. Kiểm chứng phần tử Q3DB 104 4.3.2.2. Ảnh hưởng của vận tốc và khối lượng tải di động 107 4.3.2.3. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu và mô hình cơ học vi mô 109 4.3.2.4. Ảnh hưởng của độ cứng nền đàn hồi 112 4.3.2.5. Phân bố của ứng suất 114 Kết luận và kiến nghị 122 Danh mục công trình liên quan tới luận án 125 Tài liệu tham khảo . 127 Phụ lục 142 Phụ lục A 142 Phụ lục B 145
6. Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt Các kí hiệu thông thường A Diện tích tiết diện ngang A11 Độ cứng dọc trục A12 Độ cứng tương hỗ kéo-uốn A22 Độ cứng chống uốn A33 Độ cứng chống trượt A34 Độ cứng tương hỗ xoắn-kéo A44 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn A66 Độ cứng tương hỗ xoắn-uốn bậc cao Aus Độ cứng tương hỗ kéo-trượt (sử dụng trong lý thuyết Shimpi-Patel) Abs Độ cứng tương hỗ uốn-trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) Ass Độ cứng chống trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) Ash Độ cứng chống trượt bậc cao (Lý thuyết Shimpi-Patel) b Chiều rộng dầm B11,B22,B44 Các độ cứng chống trượt (Lý thuyết bậc ba Shi) D11, D22, D44 Các độ cứng chống trượt (Lý thuyết tựa 3D) Dd Hệ số động lực học G12,G22,G44 Độ cứng tương hỗ dọc trục-độ dãn dày, uốn-độ dãn dày và trượt-độ dãn dày (Lý thuyết tựa 3D) F0 Độ lớn lực di động E f (x,z) Mô-đun đàn hồi hiệu dụng G f (x,z) Mô-đun trượt hiệu dụng Gc Mô-đun trượt của gốm Gm Mô-đun trượt của kim loại h Chiều cao dầm vii
7. viii (h1 : h2 : h3) Tỉ số độ dày giữa các lớp dầm I Mô-men quán tính bậc hai của thiết diện ngang I11 Mô-men khối lượng dọc trục I12 Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-quay I22 Mô-men khối lượng quay I34,I44,I66 Mô-men khối lượng bậc cao (Lý thuyết bậc ba Shi) Ius Mô-men khối lượng tương hỗ dọc trục-trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) Ibs Mô-men khối lượng tương hỗ uốn-trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) Iss Mô-men khối khối lượng do trượt (Lý thuyết Shimpi-Patel) kw Độ cứng lò xo Winkler ks Độ cứng các lớp trượt nền Pasternak k1 Tham số độ cứng của lò xo Winkler k2 Tham số độ cứng của lớp trượt nền Pasternak Kf Mô-đun khối hiệu dụng Kc Mô-đun khối của gốm Km Mô-đun khối của kim loại l Chiều dài phần tử L Chiều dài dầm LF Chiều dài phần nền dầm nằm trên m Khối lượng di động M1 Vật liệu M1 M2 Vật liệu M2 M3 Vật liệu M3 n Tham số vật liệu của dầm sandwich 1D-FGM NE Số phần tử rời rạc dầm NEF Số phần tử rời rạc nền đàn hồi
8. ix nx Tham số vật liệu theo chiều dài (dầm sandwich 2D-FGM) nz Tham số vật liệu theo chiều cao (dầm sandwich 2D-FGM) P1 Tính chất vật liệu của vật liệu M1 P2 Tính chất vật liệu của vật liệu M2 P3 Tính chất vật liệu của vật liệu M3 P f Tính chất hiệu dụng Pc Tính chất vật liệu của gốm Pm Tính chất vật liệu của kim loại u(x,z,t) Chuyển vị dọc trục của điểm bất kì của dầm u0 Chuyển vị dọc trục của điểm trên mặt giữa dầm v Vận tốc lực di động U Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm UF Năng lượng biến dạng của nền đàn hồi T Động năng của dầm V Thế năng của lực di động V1 Tỷ phần thể tích của vật liệu M1 (dầm 2D-FGSW ba pha) V2 Tỷ phần thể tích của vật liệu M2 (dầm 2D-FGSW ba pha) V3 Tỷ phần thể tích của vật liệu M3 (dầm 2D-FGSW ba pha) Vc Tỷ phần thể tích của gốm (dầm 2D-FGSW hai pha) Vm Tỷ phần thể tích của kim loại (dầm 2D-FGSW hai pha) rm Tỉ số khối lượng s(t) Hàm mô tả chuyển động của lực di động w(x,z,t) Chuyển vị ngang (theo phương trục z) của điểm thuộc dầm w0 Chuyển vị ngang (theo phương trục z) của điểm trên mặt giữa wb(x,t) Thành phần uốn của chuyển vị ngang ws(x,t) Thành phần trượt của chuyển vị ngang wz(x,t) Độ dãn theo chiều dày w(L/2,t) Độ võng động tại giữa dầm wst Độ võng tĩnh tại giữa dầm
9. x z0, z1, z2, z3 Tọa độ theo chiều cao của mặt đáy, hai mặt phân chia các lớp và mặt trên dầm Véc-tơ và ma trận cm Ma trận cản sinh ra từ khối lượng di động D Véc-tơ chuyển vị nút tổng thể D˙ Véc-tơ vận tốc nút tổng thể D¨ Véc-tơ gia tốc nút tổng thể de Véc-tơ chuyển vị nút của phần tử dầm F Véc-tơ lực nút tổng thể fex Véc-tơ tải trọng nút phần tử fm Véc-tơ lực nút phần tử do khối lượng di động H Ma trận các hàm dạng Hermite Hˆ 7 Ma trận của hàm nội suy bậc bảy K Ma trận độ cứng tổng thể ke Ma trận độ cứng phần tử kF Ma trận độ cứng do nền biến dạng km Ma trận độ cứng ra từ khối lượng di động M Ma trận khối lượng tổng thể N Ma trận các hàm dạng tuyến tính Nˆ 5 Ma trận của hàm nội suy bậc năm me Ma trận khối lượng phần tử mm Ma trận khối lượng sinh ra từ khối lượng di động Chữ cái Hy Lạp αF Tham số chiều dài nền đàn hồi ∆t Bước thời gian ∆T Tổng thời gian để tải trọng đi hết chiều dài dầm
10. xi εxx Biến dạng dọc trục theo phương trục x εzz Biến dạng theo phương trục z γ0 Góc trượt ngang γxz Biến dạng trượt µ1 Tham số tần số cơ bản µi Tham số tần số thứ i ν f Hệ số Poisson hiệu dụng ω1 Tần số dao động cơ bản ωi Tần số dao động tự nhiên thứ i của dầm ψ Hệ số điều chỉnh trượt ρc Mật độ khối của gốm ρm Mật độ khối của kim loại ρ f Mật độ khối hiệu dụng của dầm σxx Ứng suất pháp theo trục x σzz Ứng suất pháp theo trục z τxz Ứng suất trượt (ứng suất tiếp) θ Góc quay của thiết diện ngang ξ Tọa độ tự nhiên Chữ viết tắt CPVP Cầuphươngviphân FGM Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material) FBKO PhầntửdầmsửdụnghàmnộisuyKosmatka FSDT Lýthuyếtbiếndạngtrượtbậcnhất TBSE PhầntửdầmdựatheolýthuyếtbậcbaShimpi-Patel TBSH PhầntửdầmdựatheolýthuyếtbậcbaShi PTHH Phần tử hữu hạn Q3DB Phần tử dầm dựa trên lý thuyết tựa 3D
11. Danh sách hình vẽ Hình 1.1 Dầm 2D-FGM trong hệ tọa độ Đề-các (0xz) 11 Hình 1.2 Mô hình dầm sandwich FGM với cơ tính biến đổi ngang 13 Hình 2.1 Mô hình dầm 2D-FGSW hai pha 19 Hình 2.2 Phân bố tỷ phần thể tích Vc và Vm của dầm 2D-FGSW hai pha với z1 = −h/10, z2 = 3h/10, nx = nz = 0.5 và nx = nz = 3. 20 Hình 2.3 Mô hình dầm 2D-FGSW ba pha 22 Hình 2.4 Phân bố tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần theo chiều cao và chiều dài của dầm 2D-FGSW ba pha với nx = nz = 0.5, z1 = −z2 = −h/5. 22 Hình 3.1 Sơ đồ khối tính đáp ứng động lực học của dầm sandwich 2D- FGSW chịu khối lượng m di động sử dụng phần tử dầm Q3DB 60 Hình 4.1 Phân bố của mô đun-đàn hồi E f và mật độ khối ρ f của dầm ba pha (1-1-1) lõi mềm. 63 Hình 4.2 Ảnh hưởng của tham số vật liệu tới bốn tham số tần số đầu tiên của dầm SS ba pha. 67 Hình 4.3 Ảnh hưởng của tham số vật liệu tới bốn tham số tần số đầu tiên của dầm CC ba pha. 71 Hình 4.4 Ảnh hưởng của tham số vật liệu tới bốn tham số tần số đầu tiên của dầm CF ba pha. 72 Hình4.5 Badạngdaođộngđầutiêncủadầm(1-1-1)baphatựagiảnđơn: a) nx = 0, nz = 2, b) nx = 2, nz = 2 73 Hình 4.6 Sự phụ thuộc của tham số tần số µ1 vào tỷ số L/h của dầm 2D- FGSW ba pha với nx = nz = 2 và tỉ số độ dày các lớp khác nhau: a) Dầm SS, b) Dầm CF. 73 Hình 4.7 Sự phụ thuộc của tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha (2- 1-2) nằm một phần trên nền đàn hồi vào các tham số nx và nz với (k1,k2)=(100,10) và các giá trị khác nhau của αF . 78 xii
12. xiii Hình 4.8 Ảnh hưởng của độ cứng nền đàn hồi tới tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha (2-1-2) nằm một phần trên nền đàn hồi với αF = 0.5, nx = nz = 0.5. 79 Hình 4.9 Phân bố của mô đun-đàn hồi E f và mật độ khối ρ f của dầm hai pha (1-1-1). 80 Hình 4.10 Sự hội tụ của phần tử dầm dựa trên lý thuyết Shimpi-Patel với hàm nội suy không làm giàu trong đánh giá µ1 của dầm hai pha ( L/h = 10): (a) Dầm SS, (b) Dầm CC. 84 Hình 4.11 Sự phụ của tham số tần số µ1 vào các tham số vật liệu của dầm hai pha nhận được từ các mô hình cơ học vi mô khác nhau. 90 Hình 4.12 Sự phụ thuộc của các tham số tần số µi (i = 1 4) vào các tham số vật liệu nx và nz của dầm SS hai pha (1-1-1) (L/h = 10). 90 Hình 4.13 Sự phụ thuộc của các tham số tần số µi (i = 1 4) vào các tham số vật liệu nx và nz của dầm CC (1-1-1) hai pha (L/h = 10). 91 Hình 4.14 Sự phụ thuộc của các tham số tần số µi (i = 1 4) vào tham số vật liệu nx và nz của dầm CF (1-1-1) hai pha (L/h = 10). 92 Hình 4.15 Các dạng dao động của dầm SS (2-1-1) hai pha với L/h = 5. a) nx = 0, nz = 5, nx = 5, nz = 5 93 Hình 4.16 Ảnh hưởng của độ mảnh đến tham số tần số µ1 của dầm 2D- FGSW hai pha: a) Dầm SS, b) Dầm CC. 94 Hình 4.17 Dầm ba pha lõi cứng tựa giản đơn chịu lực di động. 95 Hình 4.18 Phân bố của mô-đun đàn hồi E f và mật độ khối ρ f của dầm ba pha (1-1-1) lõi cứng. 95 Hình 4.19 So sánh độ võng động tại giữa dầm sandwich 1D-FGM với L/h = 10, nz = 0.5, v = 50 m/s. 96 Hình 4.20 Đường cong quan hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian của dầm ba pha với các vận tốc khác nhau của lực di động: (a) Dầm (4- 1-4), nx = nz = 0.5; (b) Dầm (2-2-1), nx = nz = 0.5. (c) Dầm (4-1-4), nx = nz = 3. (d) Dầm (2-2-1), nx = nz = 3. 98 Hình4.21 Mốiliênhệgiữahệsố Dd với tham số vật liệu nz của dầm (2-2-1) ba pha. 98
13. xiv Hình 4.22 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd và vận tốc lực di động của dầm (2-2-1) ba pha: a) nx = 0.5, nz thay đổi; b) nz = 0.5, nx thay đổi. 99 Hình 4.23 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với các tham số vật liệu nx và nz của dầm ba pha (v = 50m/s). 100 Hình 4.24 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd và vận tốc lực di động của dầm 2D - FGSW với tỉ lệ độ mảnh L/h khác nhau ( nx = nz = 2). . . . 101 Hình 4.25 Mối liên hệ của độ võng tại giữa dầm theo thời gian của dầm ba pha chịu lực di động với vận tốc thay đổi (nx = nz = 0.5, v = 100 m/s). . . 102 Hình 4.26 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với vận tốc của lực di động của dầm (2-1-2) chịu lực di động với vận tốc thay đổi. 103 Hình 4.27 Dầm 2D-FGSW hai pha tựa một phần trên nền đàn hồi chịu khối lượng di động. 103 Hình 4.28 Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian của dầm hai pha (2-1-1) với L/h = 20, nx = nz = 0.5, rm = 0.5, αF = 0.5 và các giá trị khác nhau của v và (k1,k2). 111 Hình 4.29 Mối liên hệ giữa độ võng tại giữa dầm với thời gian của dầm hai pha (2-1-1) với L/h = 20, nx = nz = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, v = 50 m/s và các giá trị khác nhau của αF và rm. 112 Hình 4.30 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với vận tốc v của khối lượng di động với L/h = 20, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5 và các giá trị khác nhau của αF . 113 Hình 4.31 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học Dd với vận tốc v của khối lượng di động của dầm hai pha (2-1-1) với L/h = 20, k1 = 100, k2 = 10, αF = 0.5 và các giá trị khác nhau của rm. 113 Hình 4.32 Sự biến thiên của hệ số động lực học theo tham số vật liệu của dầm hai pha (2-1-1) với L/h = 20, rm = 0.5, k1 = 100, k2 = 10 và v = 50 m/s. 116 Hình 4.33 Mối liên hệ giữa hệ số Dd với các tham số vật liệu nhận được từ hai mô hình cơ học vi mô của dầm hai pha với L/h = 20, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5, v = 50 m/s). 117 Hình 4.34 Mối liên hệ giữa hệ số động lực học của dầm hai pha (2-1-1) với tham số độ cứng nền đàn hồi (L/h = 20, nx = nz = 0.5, rm = 0.5, αF = 0.5). 118
14. xv Hình 4.35 Phân bố theo chiều cao dầm của ứng suất pháp σxx của dầm hai pha (2-1-1) với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5 và v = 50 m/s. 118 Hình 4.36 Phân bố theo chiều cao dầm của ứng suất pháp σzz của dầm hai pha (2-1-1) với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5 và v = 50 m/s. 119 Hình 4.37 Phân bố theo chiều cao dầm của ứng suất tiếp τxz của dầm hai pha (2-1-1) với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5 và v = 50 m/s. 119 Hình 4.38 Ảnh hưởng của mô hình vật liệu vi mô đến phân bố theo chiều cao của ứng suất pháp σxx của dầm hai pha với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5, αF = 0.4 và v = 50 m/s. 120 Hình 4.39 Ảnh hưởng của mô hình cơ học vi mô đến sự phân bố theo chiều cao dầm của ứng suất tiếp của dầm hai pha với L/h = 10, nx = 0.5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5, αF = 0.4 và v = 50 m/s. 120
15. Danh sách bảng Bảng 4.1 So sánh tham số tần số µ1 của dầm 1D-FGSW tựa giản đơn (L/h = 20). 65 Bảng 4.2 Sự hội tụ của phần tử TBSH trong đánh giá tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha. 66 Bảng 4.3 Tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha với L/h = 20 và các giá trị khác nhau của tham số vật liệu và tỉ số độ dày giữa các lớp. 68 Bảng4.4 Thamsốtầnsố µ1 của dầm CC ba pha với L/h = 20 và các giá trị khác nhau của tham số vật liệu và tỉ số độ dày giữa các lớp. 69 Bảng4.5 Thamsốtầnsố µ1 của dầm CF ba pha với L/h = 20 và các giá trị khác nhau của tham số vật liệu và tỉ số độ dày giữa các lớp. 70 Bảng 4.6 Tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha với L/h = 5 và các giá trị khác nhau của tham số vật liệu và tỉ số độ dày các lớp. 74 Bảng 4.7 Tham số tần số µ1 của dầm SS ba pha nằm một phần trên nền đàn hồi với L/h = 10, (k1,k2)=(100,10). 75 Bảng 4.8 Tham số tần số µ1 của dầm CC ba pha nằm một phần trên nền đàn hồi với L/h = 10, (k1,k2)=(100,10). 76 Bảng 4.9 Tham số tần số µ1 của dầm CF ba pha nằm một phần trên nền đàn hồi với L/h = 10, (k1,k2)=(100,10). 77 Bảng 4.10 Sự hội tụ của phần tử FBKO và TBSH trong đánh giá tham số tần số cơ bản của dầm 2D-FGSW ba pha . 79 Bảng 4.11 So sánh tham số tần số µ1 của dầm 1D-FGSW với các điều kiện biên khác nhau (L/h = 10). 83 Bảng 4.12 So sánh tham số tần số µ1 của dầm 2D-FGM với L/h = 20. 84 Bảng 4.13 Sự hội tụ của phần tử TBSE trong đánh giá tần số dao động cơ bản của dầm 2D-FGSW hai pha với L/h = 10 và các điều kiện biên khác nhau (Mô hình Voigt). 85 Bảng 4.14 Tham số tần số µ1 của dầm 2D-FGSW hai pha với L/h = 5. 87 Bảng 4.15 Tham số tần số µ1 của dầm 2D-FGSW hai pha với L/h = 20. . . . .88 xvi
16. xvii Bảng 4.16 Bốn tham số tần số đầu tiên của dầm hai pha với L/h = 5 (Mô hình Mori-Tanaka). 89 Bảng 4.17 So sánh tham số tần số µ1 của dầm (1-1-1) 1D-FGSW tựa giản đơn nằm hoàn toàn trên nền đàn hồi với L/h = 10. 106 Bảng4.18 Sosánhthamsốtầnsốcơbảncủadầm2D-FGMcócơtínhbiến thiên theo chiều dài và chiều cao của dầm. 107 Bảng 4.19 So sánh hệ số động lực học Dd của dầm FGM chịu khối lượng di động. 108 Bảng 4.20 Sự hội tụ của phần tử Q3DB trong đánh giá hệ số động lực học của dầm hai pha đối xứng (2-1-2) (L/h = 20, rm = 0.5, k1 = 50, k2 = 5 và v = 50 m/s). 109 Bảng 4.21 Sự hội tụ của phần tử Q3DB trong đánh giá hệ số động lực học của dầm hai pha bất đối xứng (2-1-1) (L/h = 20, rm = 0.5, k1 = 50, k2 = 5 và v = 50 m/s). 110 Bảng 4.22 Hệ số động lực học của dầm hai pha với L/h = 5, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5, v = 50 (m/s) và các giá trị khác nhau của αF và (nx, nz). 114 Bảng 4.23 Hệ số động lực học của dầm hai pha với L/h = 20, k1 = 100, k2 = 10, rm = 0.5, v = 50 m/s và các giá trị khác nhau của αF và (nx, nz). 115
17. MỞ ĐẦU Tính cấp thiết của đề tài Vật liệu có cơ tính biến thiên (Functionally Graded Material - FGM), một loại composite mới được các nhà khoa học Nhật Bản khởi tạo lần đầu tiên vào năm 1984, ngày càng được sử dụng nhiều trong thực tiễn, đặc biệt trong các ngành công nghệ cao. Vật liệu composite nhiều lớp truyền thống, trong đó vật liệu nền, thường là các polymer, gia cường bằng các sợi, được sử dụng phổ biến trong những thập niên trước đây, có sự không liên tục về ứng suất trên bề mặt sợi gia cường và phần nền. Trong môi trường nhiệt độ cao, do sự chênh lệch lớn giữa các hệ số giãn nở nhiệt của các vật liệu thành phần dẫn tới sự hình thành các vết nứt, dẫn đến sự phá hủy. Các tính chất của FGM thay đổi liên tục theo các tọa độ không gian, khắc phục được các nhược điểm nêu trên của vật liệu composite truyền thống. FGM, vì thế, ngày càng được sử dụng rộng rãi như là vật liệu kết cấu sử dụng trong các môi trường khắc nghiệt như nhiệt độ cao, tính mài mòn của a-xít lớn. Kết cấu sandwich với tỷ số độ cứng trên khối lượng cao, được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp. Kết cấu sandwich thường gồm một lõi và hai lớp vỏ với độ cứng cao hơn lớp lõi. Do vật liệu lõi và vật liệu lớp ngoài làm từ các vật liệu khác nhau, kết cấu sandwich dễ bị tách lớp trong quá trình kết cấu chịu tải, nhất là trong môi trường nhiệt độ cao. Với sự tiến bộ của các phương pháp sản xuất[1, 2], FGMs đã được sử dụng để chế tạo các phần tử kết cấu sandwich. Với sự lựa chọn thích hợp tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần, kết cấu sandwich FGM có thể được chế tạo sao cho các tính chất của vật liệu liên tục giữa các lớp, khắc phục được sự tách lớp nêu trên của kết cấu sandwich thông thường. Ưu điểm mở ra nhiều ứng dụng cho kết cấu sandwich FGM. Nghiên cứu ứng xử cơ học của kết cấu sandwich FGM thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà khoa học trong thời gian gần đây. Dầm là phần tử kết cấu quan trọng, thường được thiết kế để chịu các tải trọng động khác nhau. Với sự phát triển của các vật liệu mới, nghiên cứu mất ổn định và dao động của dầm composite nói chung, dầm sandwich FGM nói riêng là chủ đề quan trọng, thúc đẩy việc sử dụng FGM. Trong lĩnh vực động lực học kết cấu, dao động của dầm dưới tác động của tải trọng di động là bài toán đặc biệt, trong đó sự thay đổi vị trí của tải trọng là nguồn gây rung động duy nhất. Bài toán này, xuất phát từ các 1
18. 2 yêu cầu trong thiết kế cầu, đường trong lĩnh vực giao thông vận tải, hiện đóng vai trò quan trọng trong các hoạt động và chế tạo máy móc, thiết bị [3]. Cùng với sự phát triển của các loại vật liệu mới trong đó có vật liệu FGM, nghiên cứu dao động của dầm làm từ vật liệu này là đòi hỏi cấp bách của thực tiễn. Dầm sandwich FGM có thể phân làm hai loại: dầm sandwich có cơ tính biến đổi theo chiều cao (functionally graded sandwich beams - dầm 1D-FGSW) và dầm sandwich có cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm (bidirectionally functionally graded sandwich beams - dầm 2D-FGSW). Các hệ số trong phương trình vi phân chuyển động của dầm 2D- FGSW là hàm của tọa độ dọc theo chiều dài dầm, các phương pháp giải tích truyền thống, vì thế thường gặp khó khăn trong việc phân tích dầm 2D-FGSW. Phương pháp số, đặc biệt là phương pháp phần tử hữu hạn (PTHH), thường được sử dụng như là công cụ thay thế để phân tích kết cấu dầm 2D-FGSW. Phát triển các mô hình PTHH để nghiên cứu dao động của dầm sandwich FGM có cơ tính biến đổi không chỉ theo chiều cao mà theo cả chiều cao và chiều dài dầm là bài toán quan trọng, có ý nghĩa khoa học và thực tiễn, góp phần thúc đẩy việc sử dụng loại vật liệu mới này an toàn và hiệu quả hơn. Từ những phân tích được nêu ở trên, NCS đã lựa chọn đề tài :"Mô hình phần tử hữu hạn trong phân tích kết cấu dầm sandwich FGM" làm đề tài nghiên cứu cho luận án của mình. Mục tiêu của luận án Mục tiêu của luận án là xây dựng các mô hình phần tử hữu hạn và ứng dụng trong phân tích dao động của dầm 2D-FGSW dưới tác động của tải trọng di động. Để thực hiện mục tiêu này luận án đề ra các công việc chính sau đây. 1. Xây dựng mô hình PTHH dùng trong phân tích dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGSW chịu tải trọng di động. Cụ thể: tiến hành thiết lập các ma trận độ cứng, ma trận khối lượng và véc-tơ tải trọng di động cho phần tử dầm 2D-FGSW. Các mô hình được xây dựng dựa trên cơ sở một số lý thuyết biến dạng trượt khác nhau, có tính tới ảnh hưởng của nền đàn hồi. 2. Phát triển chương trình tính toán số để xác định các đặc trưng dao động của dầm 2D-FGSW. Chương trình tính toán được xây dựng trên cơ sở mô hình PTHH nhận được nói trên và các thuật toán số trong phân tích động lực học kết cấu.
19. 3 3. Sử dụng chương trình tính toán số nhận được, tiến hành phân tích số các bài toán cụ thể để đánh giá ảnh hưởng của các tham số hình học, vật liệu dầm, tham số của tải trọng di động tới các đặc trưng cơ học của dầm. Trên cơ sở kết quả số nhận được, luận án đưa ra các nhận xét và khuyến cáo cần thiết. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu • Đối tượng của luận án là kết cấu dầm sandwich ba lớp làm từ vật liệu composite hai pha và ba pha (vật liệu composite tạo từ hai và ba vật liệu thành phần) với cơ tính biến đổi theo cả chiều cao và chiều dài dầm. Trong luận án các dầm này được ký hiệu là dầm 2D-FGSW hai pha và dầm 2D-FGSW ba pha. Thiết diện ngang của dầm được giả định là đồng nhất, ứng xử của vật liệu dầm là đàn hồi tuyến tính. • Phạm vi nghiên cứu của luận án là bài toán dao động tự do và dao động cưỡng bức của dầm 2D-FGSW hai, ba pha dưới tác động của tải trọng di động. Hai loại tải trọng di động là lực di động và khối lượng di động được quan tâm nghiên cứu trong luận án. Vật liệu dầm được giả thiết là đàn hồi tuyến tính và độ võng dầm là nhỏ. Phương pháp nghiên cứu Hai phương pháp nghiên cứu được sử dụng trong luận án là phương pháp giải tích và phương pháp mô phỏng số bằng PTHH. Cụ thể: • Phương pháp giải tích dùng trong cơ học kết cấu và vật rắn biến dạng được sử dụng để xây dựng mô hình toán học, thiết lập các phương trình cân bằng và vi phân chuyển động cho dầm. • Phương pháp PTHH được sử dụng để tính toán tần số dao động riêng và tính toán đáp ứng động lực học của dầm với các điều kiện biên khác nhau. Ngoài ra phương pháp tính toán symbolic trên cơ sở phần mềm Maple cũng được sử dụng để hỗ trợ trong việc xây dựng mô hình toán học và phát triển chương trình tính toán số.
20. 4 Bố cục của luận án Ngoài phần Mở đầu, luận án gồm 4 Chương và phần Kết luận với các nội dung chính sau đây. Chương 1 trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước và trên thế giới về phân tích kết cấu dầm FGM, dầm sandwich FGM. Vì số lượng công bố liên quan tới dầm có cơ tính thay đổi theo một phương (dầm 1D-FGM) lớn nên chương này chỉ thảo luận các công bố liên quan tới đề tài luận án, cụ thể những kết quả trong phân tích dao động của dầm FGM. Các kết quả công bố liên quan đến dầm 2D-FGM và dầm 2D-FGSW được quan tâm phân tích chi tiết. Trong chương này, NCS cũng nhấn mạnh tới phương pháp nghiên cứu để thấy rõ được lý do luận án lựa chọn phương pháp PTHH làm công cụ nghiên cứu. Chương 2 trình bày mô hình toán học cho dầm 2D-FGSW. Hai loại dầm 2D- FGSW sử dụng trong luận án là dầm 2D-FGSW hai pha và 2D-FGSW ba pha với cơ tính biến thiên theo chiều cao và chiều dài dầm theo các hàm số lũy thừa. Để luận án phong phú và tăng khả năng công bố, mô hình toán học được xây dựng cho bốn lý thuyết dầm, đó là lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất (First-order shear deformation theory - FSDT), lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của Shi (Third-order shear deforma- tion theory of Shi - gọi tắt là Lý thuyết bậc ba Shi), lý thuyết biến dạng trượt bậc ba của Shimpi và Patel (Third-order shear deformation theory by Shimpi and Patel - gọi tắt là Lý thuyết bậc ba Shimpi-Patel) và lý thuyết biến dạng trượt tựa-3D (Quasi-3D shear deformation theory - gọi tắt là Lý thuyết tựa 3D). Bên cạnh đó, chương này cũng đưa ra biểu thức năng lượng biến dạng của nền đàn hồi Pasternak và thế năng của tải trọng di động. Để minh họa, cuối chương trình bày phương trình vi phân chuyển động cho dầm 2D-FGSW theo lý thuyết bậc ba của Shi. Chương 3 xây dựng các mô hình PTHH cho dầm 2D-FGSW trên cơ sở các lý thuyết biến dạng trượt trong Chương 2. Mô hình PTHH được xây dựng với việc lựa chọn hợp lý các hàm nội suy để đảm bảo tính chính xác và tăng sự hội tụ. Ma trận độ cứng của nền đàn hồi và các ma trận khối lượng, cản, độ cứng, véc-tơ lực nút phần tử sinh ra do tải trọng di động cũng được xây dựng trong chương này. Phương pháp tích phân trực tiếp Newmak với thuật toán gia tốc trung bình để tính đáp ứng động lực học của dầm được trình bày ở cuối chương. Chương 4 tập trung trình bày các kết quả số nhận được trong phân tích các bài
21. 5 toán cụ thể. Tần số dao động riêng và các dạng dao động của dầm 2D-FGSW hai pha và ba pha được trình bày chi tiết dưới dạng các bảng biểu và hình vẽ. Sự hội tụ của phần tử với hàm nội suy làm giàu trong đánh giá tần số dao động của dầm 2D-FGSW được thảo luận. Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu, hình học dầm, tham số tải trọng di động và nền đàn hồi tới ứng xử động lực học của dầm 2D-FGSW được trình bày chi tiết. Ảnh hưởng của hai mô hình cơ học vi mô, mô hình Voigt và mô hình Mori- Tanaka dúng trong đánh giá các tính chất đàn hồi của vật liệu FGM, tới các đặc trưng dao động của dầm cũng được đánh giá trong Chương 4 này. Những kết luận chính rút ra từ Luận án và các khuyến nghị cho nghiên cứu tiếp theo được trình bày trong phần Kết Luận của luận án. Điểm mới của luận án Luận án có một số điểm mới sau đây: 1. Mô hình dầm sandwich với lõi là vật liệu thuần nhất và hai lớp ngoài làm từ FGM ba pha với cơ tính biến thiên theo cả chiều cao và chiều dài dầm theo quy luật hàm số lũy thừa được đề nghị lần đầu tiên trong luận án. 2. Các mô hình PTHH với các hàm nội suy lựa chọn cho phân tích dao động của dầm 2D-FGSW được xây dựng lần đầu tiên trong luận án này. 3. Ảnh hưởng của mô hình cơ học vi mô, cụ thể mô hình Voigt và mô hình Mori- Tanaka, tới đáp ứng động lực học của dầm 2D-FGSW chịu khối lượng di động được đánh giá lần đầu trong luận án. Ảnh hưởng của một phần nền đàn hồi tới dao động của dầm 2D-FGSW với khối lượng di động cũng được nghiên cứu đầu tiên trong luận án.
22. Chương 1 TỔNG QUAN Chương này trình bày tổng quan tình hình nghiên cứu trong lĩnh vực phân tích dầm FGM, dầm sandwich FGM trên thế giới. Các kết quả và phương pháp nghiên cứu liên quan tới dao động của dầm sandwich FGM được trình bày chi tiết. Một số kết quả nghiên cứu của các nhà khoa học trong nước cũng được thảo luận. Cuối chương trình bày định hướng nghiên cứu của luận án. 1.1. Vật liệu có cơ tính biến thiên Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) được khởi tạo lần đầu tiên bởi các nhà khoa học Nhật Bản vào năm 1984 tại Sendai [4], với ứng dụng ban đầu như là vật liệu cách nhiệt dùng trong công nghiệp vũ trụ. FGM là vật liệu composite, được tạo từ hai hay nhiều thành phần, thường là gốm và kim loại, trong đó tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần thay đổi liên tục theo một hoặc nhiều hướng không gian. Với tính chất cơ-lý thay đổi liên tục, FGM không có các nhược điểm như các vật liệu composite truyền thống, ngày càng được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành công nghiệp khác nhau, đặc biệt trong các môi trường khắc nghiệt [5, 6]. FGMs có thể được phân ra làm các dạng khác nhau, tùy thuộc vào quy luật thay đổi tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần. Dạng phổ biến và được quan tâm nghiên cứu nhiều nhất là FGM với quy luật hàm số lũy thừa (Power-law FGM). Chẳng hạn dầm FGM hai pha, pha gốm và pha kim loại, tỷ phần thể tích của pha gốm (Vc) và pha kim loại (Vm) thay đổi theo chiều cao dầm theo hàm số lũy thừa z 1 n V = + , V = 1 −V (1.1) c h 2 m c   trong đó h là chiều cao dầm; z - tọa độ theo chiều cao, tính từ mặt giữa dầm; n - chỉ số mũ, không âm, xác định sự phân bố của vật liệu thành phần. Bên cạnh FGM với quy luật lũy thừa (1.1), kết cấu FGM với quy luật hàm số mũ và quy luật Sigmoid [7] cũng được một số tác giả quan tâm nghiên cứu. Luận án này chỉ quan tâm nghiên cứu dầm làm từ FGM với quy luật hàm lũy thừa, vì thế, để tránh phức tạp, các biểu thức toán học cho dầm Sigmoid FGM và dầm với quy luật số mũ FGM không trình bày ở đây. 6
23. 7 Các tính chất hiệu dụng của dầm FGM có thể được đánh giá bằng một số mô hình cơ học vi mô khác nhau. Phổ biến và đơn giản nhất là mô hình Voigt, trong đó tính chất hiệu dụng (P f ), chẳng hạn mô-đun đàn hồi hoặc mật độ khối, của FGM với tỷ phần thể tích theo phương trình (1.1) cho bởi P f =(Pc − Pm)Vc + Pm (1.2) với Pc và Pm tương ứng là tính chất của gốm và kim loại. Mô hình Mori-Tanaka [8] cũng được nhiều nhà khoa học sử dụng để đánh giá tính chất hiệu dụng của FGM. Mô-đun khối hiệu dụng (Kf ) và mô-đun trượt hiệu dụng (G f ) trong mô hình Mori-Tanaka cho bởi Kf − Km V = c Kc − Km 1 +(1 −Vc)(Kc − Km)/(Km + 4Gm/3) G f − Gm V (1.3) = c G − G (1 −V )(G − G ) c m 1 + c c m Gm + Gm(9Km + 8Gm)/(6Km + 12Gm) trong đó Kc, Gc, Km, Gm tương ứng là mô-đun khối và mô-đun trượt của các pha gốm và kim loại. Mô-đun đàn hồi hiệu dụng (E f ) và hệ số Poisson hiệu dụng (ν f ) được tính qua mô-đun khối và mô-đun trượt hiệu dụng như sau 9Kf G f 3Kf − 2G f E f = , ν f = (1.4) 3Kf + G f 6Kf + 2G f Cần nhấn mạnh rằng mô hình Voigt, mặc dù đơn giản và được nhiều nhà khoa học sử dụng nhưng không thỏa mãn các đánh giá Hashin-Strickman [9]. Thêm vào đó, tần số dao động riêng của dầm FGM nhận được từ mô hình Voigt cao hơn hẳn tần số nhận được từ các mô hình Mori-Tanaka và Hashin-Strickman [10]. 1.2. Tình hình nghiên cứu trên thế giới 1.2.1. Dầm 1D-FGM Nghiên cứu ứng xử cơ học của kết cấu FGM nói chung, dầm FGM có cơ tính biến đổi theo một phương (dầm 1D-FGM) nói riêng được quan tâm đặc biệt trong hai thập kỷ gần đây. Một số lớn các công trình liên quan tới phân tích dầm FGM đã được công bố và tập hợp thành sách chuyên khảo [11]. Dưới đây chỉ thảo luận một số công bố có liên quan tới đề tài của luận án. Dao động tự do của dầm FGM với cơ tính biến đổi theo chiều cao là những công bố đầu tiên về dao động của dầm FGM. Điển hình trong số này là các công